怎么求3X3矩阵的行列式

2026-04-22 14:03:57 [知识] 来源：今日观察局

矩阵的矩阵行列式常用于微积分、线性代数和高等几何。列式求一个矩阵的矩阵行列式一开始可能会让人困惑，但只要做过几次后，列式你就会觉得并不是矩阵那么难。

方法1方法1 的列式 2:求行列式

1写出3×3矩阵。
我们从3x3矩阵A开始，矩阵试着找出它的列式行列式|A|。下面是矩阵我们将使用的一般矩阵表示法，以及示例矩阵：
M=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)=(153247462){ \displaystyle M={ \begin{ pmatrix}a_{ 11}&a_{ 12}&a_{ 13}\\a_{ 21}&a_{ 22}&a_{ 23}\\a_{ 31}&a_{ 32}&a_{ 33}\end{ pmatrix}}={ \begin{ pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{ pmatrix}}}
2选择单行或单列。
这将是矩阵引用行或列。不管你选哪一行或列，列式结果都是矩阵一样的。现在，列式只选择第一行。矩阵稍后，我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。
- 我们选择示例矩阵A的第一行，圈出1 5 3。一般来说，圈出₁₁a₁₂a₁₃。
- 3划掉第一个元素的行和列。
  查看圈出的行或列，并选择第一个元素。通过它的行和列画线。剩下四个数字。我们把它看成一个2×2矩阵。
- 在本例中，引用行是1 5 3。第一个元素在第1行和第1列。划掉第一行和第一列。把剩下的元素写成2×2矩阵：
- ~~1 5 3~~
  2
  4 1
  
  4
  6 2
- 4求出2x2矩阵的行列式。
  记住，这个矩阵 ${ \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}$
  5将结果乘以你选择的元素。
  记住，当你决定划去哪一行和哪一列时，是从引用行（或列）中选择了一个元素。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。
- 在本例中，我们选择了a₁₁，值为1。将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），得到1*-34 =
  -34
  。
- 6确定答案的正负号。
  接下来，将答案乘以1或-1来得到所选元素的
  代数余子式
  。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，哪个元素是负：
- + - +
  - + -
  + - +
- 由于我们选择了a₁₁，用a +标记，将结果乘以1。（也就是说，不用管它）。答案还是
  -34
  。
- 或者，你可以用公式(-1)来计算正负号，其中i和j是该元素的行数和列数。
- 7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。
  返回到初始的3x3矩阵，包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程：
- 划掉这个元素所在的行和列。
  在本例中，选择元素a₁₂（值为5）。划掉第一行（1 5 3）和第二列(546){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}}
  8对于三个元素重复这个操作。
  你还要找出一个余子式。计算引用行或列中第三项的i。在本例中，下面是计算a₁₃余子式的简要描述：
  - 划掉第1行和第3列，得到(2446){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}}
    9将三个结果加起来。
    这是最后一步。你已经算出来三个代数余子式，每个分别对应单行或单列中的每个元素。把它们加起来，你就得到了3x3矩阵的行列式。
    - 在本例中，行列式为
      -34
      +
      120
      +
      -12
      =
      74
      。

方法2方法2 的 2:简化问题

1选择0最多的引用行或列。
记住，你可以选择任意行或列作为引用。不管你选哪一个，结果都是一样的。如果你选择一个带有零的行或列，只需要计算非零元素的代数余子式。原因如下：
假设你选择第2行，包含元素a₂₁、a₂₂和₂₃。要解决这个问题，我们要看三个不同的2x2矩阵。我们把它们叫做A₂₁、A₂₂和A₂₃。
3x3矩阵的行列式是a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|。
如果a₂₂和a₂₃都为0，公式就变成a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。
2利用行加法使矩阵更简单。
如果你把一行的值加到另一行，矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样操作，或者在加之前将值乘以一个常数，从而使矩阵有尽可能多的0。这样可以节省很多时间。
例如，假设你有一个3×3的矩阵：(9−1231075−2){ \displaystyle { \begin{ pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{ pmatrix}}}
3学习三角矩阵的快捷方法。
在这些特殊情况下，行列式就是主对角线上的元素的乘积，从左上角的a₁₁到右下角的a₃₃。我们讨论的仍然是3x3矩阵，但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式：
- 上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。下面全部是0。
- 下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。
- 对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。（上述矩阵的一个子集）